第5問

nを2以上の整数とする。実数a_1,a_2,...,a_nがa_1^2+a_2^2+...+a_n^2=nを満たすとき、1≤i<j≤nについての和Σ1/(n-a_i a_j)がn/2以下であることを証明せよ。

ステップ 5/6: 全ての組で和を取る

\sum_{i<j}\frac{a_i a_j}{n-a_i a_j}\le\frac12\sum_{i\ne j}\frac{a_i^2}{n-a_j^2}=\frac12\sum_{j=1}^n\frac{n-a_j^2}{n-a_j^2}=\frac n2.

詳しい解説

組ごとの評価を足す。二重和を分母の添字jで並べ替えると、i≠jの分子の和はn-a_j^2となる。結果はn/2である。