第5問

nを2以上の整数とする。実数a_1,a_2,...,a_nがa_1^2+a_2^2+...+a_n^2=nを満たすとき、1≤i<j≤nについての和Σ1/(n-a_i a_j)がn/2以下であることを証明せよ。

ステップ 6/6: 逆数和に戻る

\frac1{n-a_i a_j}=\frac1n\left(1+\frac{a_i a_j}{n-a_i a_j}\right),\quad \sum_{i<j}\frac1{n-a_i a_j}\le\frac{n-1}{2}+\frac12=\frac n2.

詳しい解説

n/(n-a_i a_j)=1+a_i a_j/(n-a_i a_j)を用いる。組はn(n-1)/2個あり、先の評価から左辺はn/2以下となる。