MathLabs

アジア太平洋数学オリンピック · 2013年

問題

  1. 第1問鋭角三角形ABCの高さをAD、BE、CFとし、Oを外接円の中心とする。線分OA、OF、OB、OD、OC、OEが三角形ABCを三組の面積が等しい三角形対に分割することを証明せよ。解答: 1
  2. 第2問(n^2+1)/(floor(sqrt(n))^2+2)が整数となる正の整数nをすべて求めよ。ここでfloor(r)はr以下の最大の整数を表す。解答: 1
  3. 第3問2k個の実数a_1,...,a_k,b_1,...,b_kに対し、X_n=Σ floor(a_i n+b_i) (n=1,2,...)と定める。数列X_nが等差数列ならば、Σa_iが整数であることを証明せよ。ここでfloor(r)はr以下の最大整数を表す。解答: 1
  4. 第4問a,bを正の整数、A,Bを有限な整数集合とし、次を満たすとする。(i) AとBは互いに素。(ii) 整数iがAまたはBに属すなら、i+aはAに属すか、i-bはBに属す。|X|をXの要素数とするとき、a|A|=b|B|を証明せよ。解答: 1
  5. 第5問四角形ABCDが円ωに内接し、PをACの延長上の点でPB,PDがωの接線となるようにとる。Cにおける接線がPDとQで、直線ADとRで交わるとする。AQとωのもう一つの交点をEとする。B,E,Rが一直線上にあることを証明せよ。解答: 1