MathLabs

第2問

(n^2+1)/(floor(sqrt(n))^2+2)が整数となる正の整数nをすべて求めよ。ここでfloor(r)はr以下の最大の整数を表す。
ステップ 1/6: 平方部分を分ける
前のステップ次のステップ
m=⌊n⌋≥1,n=m2+a,0≤a≤2m.m=\lfloor\sqrt n\rfloor\ge1,\quad n=m^2+a,\quad 0\le a\le2m.
詳しい解説

m=floor(sqrt n)、a=n-m²とおく。床関数の定義からm²≤n<(m+1)²、したがって0≤a≤2m、m≥1である。