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第2問
第2問
(n^2+1)/(floor(sqrt(n))^2+2)が整数となる正の整数nをすべて求めよ。ここでfloor(r)はr以下の最大の整数を表す。
ステップ 2/6: 分母を法として分子を簡約する
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n
2
+
1
=
(
m
2
+
a
)
2
+
1
≡
(
a
−
2
)
2
+
1
(
m
o
d
m
2
+
2
)
.
n^2+1=(m^2+a)^2+1\equiv(a-2)^2+1\pmod{m^2+2}.
n
2
+
1
=
(
m
2
+
a
)
2
+
1
≡
(
a
−
2
)
2
+
1
(
mod
m
2
+
2
)
.
詳しい解説
法m²+2ではm²≡−2。これを(m²+a)²+1に代入すると示された余りを得る。したがって元の整数条件はm²+2が(a−2)²+1を割ることと同値である。
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