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第2問
第2問
(n^2+1)/(floor(sqrt(n))^2+2)が整数となる正の整数nをすべて求めよ。ここでfloor(r)はr以下の最大の整数を表す。
ステップ 3/6: 商の候補を絞る
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0
<
(
a
−
2
)
2
+
1
<
4
(
m
2
+
2
)
⟹
(
a
−
2
)
2
+
1
=
k
(
m
2
+
2
)
,
k
∈
{
1
,
2
,
3
}
.
0<(a-2)^2+1<4(m^2+2)\Longrightarrow (a-2)^2+1=k(m^2+2),\quad k\in\{1,2,3\}.
0
<
(
a
−
2
)
2
+
1
<
4
(
m
2
+
2
)
⟹
(
a
−
2
)
2
+
1
=
k
(
m
2
+
2
)
,
k
∈
{
1
,
2
,
3
}
.
詳しい解説
0≤a≤2mより分子はmax{4,(2m−2)²}+1≤4m²+1<4(m²+2)以下。正なので、m²+2による商は1,2,3のいずれかである。
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