第3問

2k個の実数a_1,...,a_k,b_1,...,b_kに対し、X_n=Σ floor(a_i n+b_i) (n=1,2,...)と定める。数列X_nが等差数列ならば、Σa_iが整数であることを証明せよ。ここでfloor(r)はr以下の最大整数を表す。

ステップ 2/5: X_nをはさむ

a_i n+b_i-1<\lfloor a_i n+b_i\rfloor\le a_i n+b_i\Longrightarrow An+B-k<X_n\le An+B.

詳しい解説

各iに床関数の定義による不等式を適用して足し合わせる。後の比較には下側の厳密不等号で十分である。