第3問

2k個の実数a_1,...,a_k,b_1,...,b_kに対し、X_n=Σ floor(a_i n+b_i) (n=1,2,...)と定める。数列X_nが等差数列ならば、Σa_iが整数であることを証明せよ。ここでfloor(r)はr以下の最大整数を表す。

ステップ 3/5: 等差数列を使う

X_n=X_1+(n-1)d,\quad nd=X_{n+1}-X_1,\quad A+B-k<X_1\le A+B.

詳しい解説

公差をdとする。数列の各項は整数なので、d（第2項と第1項の差）も整数である。次の項をndと第1項の和と書き、次の添字でのはさみうちを使うと狭い区間が得られる。