第3問

2k個の実数a_1,...,a_k,b_1,...,b_kに対し、X_n=Σ floor(a_i n+b_i) (n=1,2,...)と定める。数列X_nが等差数列ならば、Σa_iが整数であることを証明せよ。ここでfloor(r)はr以下の最大整数を表す。

ステップ 5/5: nを大きくする

|A-d|<\frac{k}{n}\text{ for every }n\ge1\Longrightarrow A=d\in\mathbb Z.

詳しい解説

この不等式は全ての正整数nで成り立つので左辺は0でなければならない。ゆえにA=dで、dは整数だから求めるΣa_iも整数である。