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第4問

a,bを正の整数、A,Bを有限な整数集合とし、次を満たすとする。(i) AとBは互いに素。(ii) 整数iがAまたはBに属すなら、i+aはAに属すか、i-bはBに属す。|X|をXの要素数とするとき、a|A|=b|B|を証明せよ。
ステップ 4/5: 元の和を比較する
前のステップ次のステップ
∑x∈A∪Bx=∑x∈A∗∪B∗x=∑x∈Ax−a∣A∣+∑x∈Bx+b∣B∣.\sum_{x\in A\cup B}x=\sum_{x\in A^*\cup B^*}x=\sum_{x\in A}x-a|A|+\sum_{x\in B}x+b|B|.
詳しい解説

二つの和集合は同じ互いに素な有限集合なので元の和は等しい。Aの平行移動は|A|個の各元からaを引き、Bの平行移動は|B|個の各元にbを足す。