第5問

四角形ABCDが円ωに内接し、PをACの延長上の点でPB,PDがωの接線となるようにとる。Cにおける接線がPDとQで、直線ADとRで交わるとする。AQとωのもう一つの交点をEとする。B,E,Rが一直線上にあることを証明せよ。

ステップ 3/7: ABCDにプトレマイオスを適用する

AB\cdot DC=BC\cdot AD=\frac12AC\cdot BD\Longrightarrow\frac{DB}{AB}=\frac{2DC}{CA}.

詳しい解説

前段からAB·DC=BC·AD。プトレマイオスよりAB·DC+BC·AD=AC·BDなので各項はAC·BDの半分。整理してDB/AB=2DC/CA。