第5問

四角形ABCDが円ωに内接し、PをACの延長上の点でPB,PDがωの接線となるようにとる。Cにおける接線がPDとQで、直線ADとRで交わるとする。AQとωのもう一つの交点をEとする。B,E,Rが一直線上にあることを証明せよ。

ステップ 4/7: もう一度プトレマイオスを使う

CA\cdot ED=CE\cdot AD=\frac12AE\cdot DC\Longrightarrow\frac{DC}{CA}=\frac{2ED}{AE}.

詳しい解説

A,C,D,Eを含む四角形に接線弦と円周角による相似を適用してCA·ED=CE·AD。プトレマイオスによりこの共通積はAE·DCの半分であり、示した比を得る。