第1問

正の整数

m

に対し、

S(m)

と

P(m)

をそれぞれ

m

の各桁の和と積とする。任意の正の整数

n

に対し、

a_1,a_2,\ldots,a_n

が

S(a_1)<S(a_2)<\cdots<S(a_n)

および

S(a_i)=P(a_{i+1})

（

i=1,2,\ldots,n

、ただし

a_{n+1}=a_1

）を満たすように取れることを示せ。

ステップ 1/3: 中央の数を構成する

a_i:\;2\text{ occurs }k+i-2\text{ times},\quad 1\text{ occurs }2^{k+i-1}-2(k+i-2)\text{ times}\quad(2\le i\le n)

詳しい解説

十分大きい正整数 k を選ぶ。2 から n まで、a_i の桁を 2 と 1 だけで構成し、表示した個数だけ現れるようにする。k を十分大きくすれば 1 の個数は非負である。