第1問

正の整数

m

に対し、

S(m)

と

P(m)

をそれぞれ

m

の各桁の和と積とする。任意の正の整数

n

に対し、

a_1,a_2,\ldots,a_n

が

S(a_1)<S(a_2)<\cdots<S(a_n)

および

S(a_i)=P(a_{i+1})

（

i=1,2,\ldots,n

、ただし

a_{n+1}=a_1

）を満たすように取れることを示せ。

ステップ 3/3: 巡回を閉じる

a_1:\;2\text{ occurs }k+n-1\text{ times},\quad 1\text{ occurs }2^k-2(k+n-1)\text{ times}

詳しい解説

表示した桁数をもつ $a_1$ を取る。これは $2^k>2(k+n-1)$ とすれば可能である。このとき $S(a_1)=2^k$ 、 $P(a_1)=2^{k+n-1}$ である。ゆえに和は狭義に増加し、各 $S(a_i)$ は次の積に等しく、 $S(a_n)=P(a_1)$ となる。