MathLabs

第3問

任意の整数 kk に対して a3+a−ka^3+a-k が nn で割り切れる整数 aa が存在するような、すべての正整数 nn を求めよ。
ステップ 1/4: 3のべきは成り立つ
(a3+a)−(b3+b)=(a−b)(a2+ab+b2+1)(a^3+a)-(b^3+b)=(a-b)(a^2+ab+b^2+1)
詳しい解説

法が3の正のべきのとき、二つの値が一致すると仮定する。表示の因数分解を用いると、第二因子は3を法として直接調べれば3で割れない。よって a,b は合同であり、有限な剰余系上の写像は単射、従って全単射である。法1も成り立つ。