MathLabs

第3問

任意の整数 kk に対して a3+a−ka^3+a-k が nn で割り切れる整数 aa が存在するような、すべての正整数 nn を求めよ。
ステップ 2/4: 4を法として1の素数は失敗する
前のステップ次のステップ
p≡1(mod4)⟹b2≡−1(modp)⟹b3+b≡0≡03+0(modp)p\equiv1\pmod4\Longrightarrow b^2\equiv-1\pmod p\Longrightarrow b^3+b\equiv0\equiv0^3+0\pmod p
詳しい解説

3より大きい素数 p が4を法として1なら、−1は平方剰余である。平方が−1となる非零 b を取ると、0 と b で値が一致し、法 p で置換ではない。