p が4を法として3なら、0 と平方剰余の集合を C とする。x^2+x+1 の値はちょうど (p+1)/2 個なので、0 と C の全要素である。任意の平方を (2w+1)^2 と書くと C は3の加法で閉じることになり、p≠3 なら全剰余が C に入るという矛盾になる。従って x^2+x+1 が非平方剰余となる x がある。−平方は非平方剰余全体なので、a^2+ab+b^2=−1 となる非零 a,b を取れる。a=b なら 2a と −a に置き換えて異なる対にし、そうでなければ因数分解から衝突を得る。