アジア太平洋数学オリンピック · 2015年

問題

第1問三角形 $ABC$ と辺 $BC$ 上の点 $D$ をとる。 $D$ を通る直線が辺 $AB$ と $X$ 、半直線 $AC$ と $Y$ で交わる。三角形 $BXD$ の外接円は三角形 $ABC$ の外接円 $\omega$ と $Z\ne B$ で再び交わる。直線 $ZD$ と $ZY$ はそれぞれ $\omega$ と $V$ と $W$ で再び交わる。 $AB=VW$ を示せ。解答: 1
第2問 $S=\{2,3,4,\ldots\}$ を $2$ 以上の整数全体とする。 $a,b\in S$ かつ $a\ne b$ のとき常に $f(a)f(b)=f(a^2b^2)$ を満たす関数 $f:S\to S$ は存在するか。解答: 1
第3問実数列 $a_0,a_1,\ldots$ が良い列であるとは、(i) $a_0$ が正整数、(ii) 任意の非負整数 $i$ で $a_{i+1}=2a_i+1$ または $a_{i+1}=\frac{a_i}{a_i+2}$ 、(iii) ある正整数 $k$ で $a_k=2014$ となることをいう。 $a_n=2014$ となる良い列が存在するような最小の正整数 $n$ を求めよ。解答: 1
第4問正整数 $n$ に対し、平面上の相異なる $2n$ 直線で互いに平行なものがないものを考える。その $2n$ 本のうち $n$ 本を青、残りの $n$ 本を赤に塗る。少なくとも一本の青線上にある点全体を $B$ 、赤線上の点全体を $R$ とする。 $B$ とちょうど $2n-1$ 点で交わり、同時に $R$ ともちょうど $2n-1$ 点で交わる円が存在することを示せ。解答: 1
第5問 $a_0\ge2015$ を満たす正整数列 $a_0,a_1,a_2,\ldots$ で、全ての整数 $n\ge1$ に対し (i) $a_{n+2}$ が $a_n$ で割り切れ、(ii) $|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1$ （ただし $s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\cdots+(-1)^{n+1}a_0$ ）となるものを全て求めよ。解答: 1