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第2問
第2問
S
=
{
2
,
3
,
4
,
…
}
S=\{2,3,4,\ldots\}
S
=
{
2
,
3
,
4
,
…
}
を
2
2
2
以上の整数全体とする。
a
,
b
∈
S
a,b\in S
a
,
b
∈
S
かつ
a
≠
b
a\ne b
a
=
b
のとき常に
f
(
a
)
f
(
b
)
=
f
(
a
2
b
2
)
f(a)f(b)=f(a^2b^2)
f
(
a
)
f
(
b
)
=
f
(
a
2
b
2
)
を満たす関数
f
:
S
→
S
f:S\to S
f
:
S
→
S
は存在するか。
ステップ 2/4: 比を定数にする
前のステップ
次のステップ
f
(
a
2
)
f
(
a
)
=
f
(
b
2
)
f
(
b
)
=
k
>
0
,
f
(
a
b
)
=
f
(
a
)
f
(
b
)
k
\frac{f(a^2)}{f(a)}=\frac{f(b^2)}{f(b)}=k>0,\qquad f(ab)=\frac{f(a)f(b)}k
f
(
a
)
f
(
a
2
)
=
f
(
b
)
f
(
b
2
)
=
k
>
0
,
f
(
ab
)
=
k
f
(
a
)
f
(
b
)
詳しい解説
最初の関係は平方との比が入力によらないことを示すので k と置く。平方の関係を元の条件に代入すると、a,b が異なるとき第二の恒等式を得る。
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