MathLabs

第3問

実数列 a0,a1,…a_0,a_1,\ldots が良い列であるとは、(i) a0a_0 が正整数、(ii) 任意の非負整数 ii で ai+1=2ai+1a_{i+1}=2a_i+1 または ai+1=aiai+2a_{i+1}=\frac{a_i}{a_i+2}、(iii) ある正整数 kk で ak=2014a_k=2014 となることをいう。an=2014a_n=2014 となる良い列が存在するような最小の正整数 nn を求めよ。
ステップ 2/4: 列を逆向きにたどる
前のステップ次のステップ
ak=2014⟹(m0,n0)=(2014,1),ak−i=minia_k=2014\Longrightarrow (m_0,n_0)=(2014,1),\quad a_{k-i}=\frac{m_i}{n_i}
詳しい解説

2014 から始めると各前項は一意に定まる。現在値が1より大きければ倍化操作の逆を、1より小さければ分数操作の逆を用いる。各前項を既約分数で書くと、分子分母は正で互いに素、和は常に2015である。