第3問

実数列

a_0,a_1,\ldots

が良い列であるとは、(i)

a_0

が正整数、(ii) 任意の非負整数

i

で

a_{i+1}=2a_i+1

または

a_{i+1}=\frac{a_i}{a_i+2}

、(iii) ある正整数

k

で

a_k=2014

となることをいう。

a_n=2014

となる良い列が存在するような最小の正整数

n

を求めよ。

ステップ 4/4: 最小の帰還時間を計算する

2015=5\cdot13\cdot31,\qquad \operatorname{ord}_{2015}(2)=\operatorname{lcm}(4,12,5)=60

詳しい解説

5,13,31 を法とする2の位数はそれぞれ4,12,5である（2^5=32≡1 mod 31）。積を法とする位数は最小公倍数60である。60段の逆軌道は分母1を与えるので良い列を構成し、これより小さい正の段数は不可能。答えは60。