MathLabs

第4問

正整数 nn に対し、平面上の相異なる 2n2n 直線で互いに平行なものがないものを考える。その 2n2n 本のうち nn 本を青、残りの nn 本を赤に塗る。少なくとも一本の青線上にある点全体を BB、赤線上の点全体を RR とする。BB とちょうど 2n−12n-1 点で交わり、同時に RR ともちょうど 2n−12n-1 点で交わる円が存在することを示せ。
ステップ 1/4: 異色の隣接対を見つける
前のステップ次のステップ
ℓ1,…,ℓ2n,ℓk and ℓk+1 have different colors\ell_1,\ldots,\ell_{2n},\quad \ell_k\text{ and }\ell_{k+1}\text{ have different colors}
詳しい解説

一点を通る一般の直線を回転し、各直線と平行になる順に並べる。色が同数なので、この順序の隣接二直線には異色の組がある。それを ℓk\ell_k と ℓk+1\ell_{k+1} とする。