MathLabs

第5問

a0≥2015a_0\ge2015 を満たす正整数列 a0,a1,a2,…a_0,a_1,a_2,\ldots で、全ての整数 n≥1n\ge1 に対し (i) an+2a_{n+2} が ana_n で割り切れ、(ii) ∣sn+1−(n+1)an∣=1|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1（ただし sn+1=an+1−an+an−1−⋯+(−1)n+1a0s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\cdots+(-1)^{n+1}a_0）となるものを全て求めよ。
ステップ 1/5: 絶対値条件を漸化式に直す
前のステップ次のステップ
sn+1=(n+1)an+hn,hn∈{−1,1},an+1=(n+1)an+nan−1+δn,δn∈{−2,0,2}s_{n+1}=(n+1)a_n+h_n,\quad h_n\in\{-1,1\},\qquad a_{n+1}=(n+1)a_n+na_{n-1}+\delta_n,\quad \delta_n\in\{-2,0,2\}
詳しい解説

符号 h_n を導入する。隣接する二つの交代和を比較し、その和が次の項になる恒等式を使うと表示の漸化式を得る。誤差項は三つの偶数値に限られる。