第5問

a_0\ge2015

を満たす正整数列

a_0,a_1,a_2,\ldots

で、全ての整数

n\ge1

に対し (i)

a_{n+2}

が

a_n

で割り切れ、(ii)

|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1

（ただし

s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\cdots+(-1)^{n+1}a_0

）となるものを全て求めよ。

ステップ 3/5: 鋭い上下界と整除性を使う

(n^2+5n+3)a_n<a_{n+2}<(n^2+5n+5)a_n\Longrightarrow a_{n+2}=(n+1)(n+4)a_n\quad(n\ge4)

詳しい解説

漸化式を二度代入し下界を使うと厳密な不等式を得る。 $a_n$ が $a_{n+2}$ を割るので商は整数であり、二つの隣接する係数の間にある。従って商は $n^2+5n+4$ で、表示の因数分解になる。