MathLabs

第5問

a0≥2015a_0\ge2015 を満たす正整数列 a0,a1,a2,…a_0,a_1,a_2,\ldots で、全ての整数 n≥1n\ge1 に対し (i) an+2a_{n+2} が ana_n で割り切れ、(ii) ∣sn+1−(n+1)an∣=1|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1（ただし sn+1=an+1−an+an−1−⋯+(−1)n+1a0s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\cdots+(-1)^{n+1}a_0）となるものを全て求めよ。
ステップ 4/5: 一段の比を強制する
前のステップ次のステップ
an+1=(n+1)(n+3)n+2an(n≥1)a_{n+1}=\frac{(n+1)(n+3)}{n+2}a_n\quad(n\ge1)
詳しい解説

二段恒等式を隣接する添字に適用し元の漸化式と比較すると、n≥4 で誤差項は0となり表示の比を得る。最初の3添字のどこかで比が失敗すると、最大の添字を選ぶことで整除性から a_m が14以下の数を割ることになり下界に矛盾する。よって比は全ての n≥1 で成立する。