MathLabs

第5問

a0≥2015a_0\ge2015 を満たす正整数列 a0,a1,a2,…a_0,a_1,a_2,\ldots で、全ての整数 n≥1n\ge1 に対し (i) an+2a_{n+2} が ana_n で割り切れ、(ii) ∣sn+1−(n+1)an∣=1|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1（ただし sn+1=an+1−an+an−1−⋯+(−1)n+1a0s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\cdots+(-1)^{n+1}a_0）となるものを全て求めよ。
ステップ 5/5: 二つの族を同定して検証する
前のステップ次のステップ
an=c(n+2)n!(n≥1),a0=c+1 or c−1a_n=c(n+2)n!\quad(n\ge1),\qquad a_0=c+1\text{ or }c-1
詳しい解説

n=1 の比から a_1 は3の倍数なので a_1=3c と置き、帰納して表示式を得る。n=1 の条件から a_0=c±1。a_0 の下界より、プラスの場合 c≥2014、マイナスの場合 c≥2016。最後に交代和の階乗恒等式を使えば両族を検証できる。