MathLabs

第1問

三角形 ABCABC が「great」であるとは、辺 BCBC 上の任意の点 DD について、DD から直線 ABAB、ACAC に下ろした垂線の足をそれぞれ PP、QQ とするとき、DD を直線 PQPQ に関して反転した点が三角形 ABCABC の外接円上にあることをいう。三角形 ABCABC が great であることと、∠A=90∘\angle A=90^\circ かつ AB=ACAB=AC であることが同値であることを証明せよ。
ステップ 3/5: 角度計算で ∠A=90∘\angle A=90^\circ を導く
前のステップ次のステップ
∠PD′Q=∠PDQ=180∘−∠BAC,∠PD′Q=∠BAC  ⟹  ∠BAC=90∘\angle PD'Q=\angle PDQ=180^\circ-\angle BAC,\quad \angle PD'Q=\angle BAC \implies \angle BAC=90^\circ
詳しい解説

PQPQ に関する反転は角度を保つので ∠PD′Q=∠PDQ\angle PD'Q=\angle PDQ であり、APDQAPDQ は PP、QQ で直角を持つ円内接四角形なので ∠PDQ=180∘−∠BAC\angle PDQ=180^\circ-\angle BAC となる。一方 D′=AD'=A より ∠PD′Q=∠PAQ=∠BAC\angle PD'Q=\angle PAQ=\angle BAC である。この二つの ∠PD′Q\angle PD'Q の式を組み合わせると ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ が得られる。