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第1問

三角形 ABCABC が「great」であるとは、辺 BCBC 上の任意の点 DD について、DD から直線 ABAB、ACAC に下ろした垂線の足をそれぞれ PP、QQ とするとき、DD を直線 PQPQ に関して反転した点が三角形 ABCABC の外接円上にあることをいう。三角形 ABCABC が great であることと、∠A=90∘\angle A=90^\circ かつ AB=ACAB=AC であることが同値であることを証明せよ。
ステップ 4/5: BCBC の中点から AB=ACAB=AC を導く
前のステップ次のステップ
D=midpoint of BC, ∠BAC=90∘  ⟹  PQ∥BC, DD′⊥BC  ⟹  D′=A  ⟹  AB=ACD=\text{midpoint of }BC,\ \angle BAC=90^\circ \implies PQ\parallel BC,\ DD'\perp BC \implies D'=A \implies AB=AC
詳しい解説

今度は DD を BCBC の中点に取る。∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ であるから、この新しい DD に対する垂線の足 PP、QQ でできる三角形 DQPDQP は ABCABC の中点三角形であり、PQPQ は BCBC に平行、したがって DD′DD' は BCBC に垂直である。D′D' から BCBC までの距離は ABCABC の外接円の半径にも AA から BCBC までの距離にも等しく、これは D′=AD'=A を強制する。これは ABCABC が二等辺、すなわち AB=ACAB=AC のときのみ可能である。∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ と合わせて、これで順方向が証明された。