MathLabs

第1問

三角形 ABCABC が「great」であるとは、辺 BCBC 上の任意の点 DD について、DD から直線 ABAB、ACAC に下ろした垂線の足をそれぞれ PP、QQ とするとき、DD を直線 PQPQ に関して反転した点が三角形 ABCABC の外接円上にあることをいう。三角形 ABCABC が great であることと、∠A=90∘\angle A=90^\circ かつ AB=ACAB=AC であることが同値であることを証明せよ。
ステップ 5/5: 十分性：直角二等辺三角形は great である
前のステップ次のステップ
∠BAC=90∘, AB=AC  ⟹  ∠BD′C=∠PDQ=90∘\angle BAC=90^\circ,\ AB=AC \implies \angle BD'C=\angle PDQ=90^\circ
詳しい解説

逆に ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ かつ AB=ACAB=AC とし、DD を BCBC 上の任意の点、PP、QQ をその ABAB、ACAC への射影、D′D' を DD の PQPQ に関する反転とする。D′P=DP=BPD'P=DP=BP かつ D′Q=DQ=CQD'Q=DQ=CQ であり、APDQD′APDQD' は直径 PQPQ の円上にあるので ∠BPD′=∠CQD′\angle BPD'=\angle CQD' となり、三角形 D′PBD'PB と D′QCD'QC は相似である。これより ∠PD′Q=∠BD′C\angle PD'Q=\angle BD'C となり、三角形 DPQDPQ と D′PQD'PQ が合同であることから ∠BD′C=∠PDQ=90∘\angle BD'C=\angle PDQ=90^\circ を得る。したがって D′D' は直径 BCBC の円上、すなわち直角二等辺三角形 ABCABC の外接円上にあり、ABCABC が great であることが示された。