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第3問

ABAB と ACAC を同一直線上にない相異なる二つの半直線とし、ω\omega を中心 OO の円で、半直線 ACAC に点 EE で、半直線 ABAB に点 FF で接するものとする。RR を線分 EFEF 上の点とする。OO を通り EFEF に平行な直線が直線 ABAB と交わる点を PP とする。直線 PRPR と ACAC の交点を NN、直線 ABAB と RR を通り ACAC に平行な直線との交点を MM とする。直線 MNMN が ω\omega に接することを証明せよ。
ステップ 2/5: 補助円と最初の相似
前のステップ次のステップ
Q=PO∩AC, Y=PO∩⊙(AM′O),∠AYM′=∠AOM′=90∘−∠M′OP,∠EOQ=∠FOP=∠M′AO=∠M′YPQ=PO\cap AC,\ Y=PO\cap\odot(AM'O),\quad \angle AYM'=\angle AOM'=90^\circ-\angle M'OP,\quad \angle EOQ=\angle FOP=\angle M'AO=\angle M'YP
詳しい解説

Q=PO∩ACQ=PO\cap AC とし、YY を直線 POPO と △AM′O\triangle AM'O の外接円との第二の交点とする。OAOA は二つの接線半径のなす角を二等分するので ∠AOM′=90∘−∠M′OP\angle AOM'=90^\circ-\angle M'OP である。OO の周りで角度を追うと ∠EOQ=∠FOP=∠M′AO=∠M′YP\angle EOQ=\angle FOP=\angle M'AO=\angle M'YP となり、対称的に ∠EQO=∠M′PY\angle EQO=\angle M'PY も得られるので、△M′YP∼△EOQ\triangle M'YP\sim\triangle EOQ である。