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第3問

ABAB と ACAC を同一直線上にない相異なる二つの半直線とし、ω\omega を中心 OO の円で、半直線 ACAC に点 EE で、半直線 ABAB に点 FF で接するものとする。RR を線分 EFEF 上の点とする。OO を通り EFEF に平行な直線が直線 ABAB と交わる点を PP とする。直線 PRPR と ACAC の交点を NN、直線 ABAB と RR を通り ACAC に平行な直線との交点を MM とする。直線 MNMN が ω\omega に接することを証明せよ。
ステップ 3/5: OO における半角を計算する
前のステップ次のステップ
∠M′OP=∠M′OF+∠FOP=90∘−12∠XOE,∠AYM′=12∠XOE=∠NOE\angle M'OP=\angle M'OF+\angle FOP=90^\circ-\tfrac12\angle XOE,\quad \angle AYM'=\tfrac12\angle XOE=\angle NOE
詳しい解説

2∠M′OP=∠FOX+∠FOP+∠EOQ=180∘−∠XOE2\angle M'OP=\angle FOX+\angle FOP+\angle EOQ=180^\circ-\angle XOE より ∠M′OP=90∘−12∠XOE\angle M'OP=90^\circ-\tfrac12\angle XOE を得る。∠AYM′\angle AYM' と ∠M′OP\angle M'OP は互いに余角であるから ∠AYM′=12∠XOE=∠NOE\angle AYM'=\tfrac12\angle XOE=\angle NOE となり、AA と NN は △M′YP\triangle M'YP と △EOQ\triangle EOQ の相似における対応点である。