MathLabs

第5問

すべての正実数 x,y,zx,y,z に対して (z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x) を満たす関数 f:R+→R+f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+ をすべて求めよ。
ステップ 1/8: ff は上に有界でない
前のステップ次のステップ
x=y=1:2f(f(z)+1)=(z+1)f(2)x=y=1:\quad 2f(f(z)+1)=(z+1)f(2)
詳しい解説

恒等関数 f(x)=xf(x)=x が方程式を満たすことは明らかである。一般の解 ff について x=y=1x=y=1 とおくと、すべての z>0z>0 に対して 2f(f(z)+1)=(z+1)f(2)2f(f(z)+1)=(z+1)f(2) が得られる。zz がすべての正実数を動くとき右辺は非有界なので、ff は上に有界でない。