第5問

すべての正実数

x,y,z

に対して

(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)

を満たす関数

f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

をすべて求めよ。

ステップ 2/8: 線形方程式の補題

cu+v=a,\ u+cv=b,\quad u=\frac{ca-b}{c^2-1},\ v=\frac{cb-a}{c^2-1}

詳しい解説

補題： $c>1$ が $a/b$ と $b/a$ の両方より大きいならば、連立方程式 $cu+v=a$ 、 $u+cv=b$ は正の解 $u,v$ を持ち、上記の式で与えられる。これはこの仮定の下で分子も $c^2-1$ も正であるためである。