第5問

すべての正実数

x,y,z

に対して

(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)

を満たす関数

f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

をすべて求めよ。

ステップ 3/8: 等しい和に関する加法性

前のステップ次のステップ

a+b=c+d \implies f(a)+f(b)=f(c)+f(d)

詳しい解説

$a+b=c+d$ を満たす $a,b,c,d>0$ を与える。 $f$ の非有界性より、 $f(e)$ が $1,a/b,b/a,c/d,d/c$ すべてより大きくなるような $e$ を選べる。補題を $c=f(e)$ として組 $(a,b)$ と $(c,d)$ に適用すると、 $f(e)u+v=a$ 、 $u+f(e)v=b$ 、 $f(e)w+t=c$ 、 $w+f(e)t=d$ を満たす $u,v,w,t>0$ が得られ、 $(u+v)(f(e)+1)=a+b$ かつ $(w+t)(f(e)+1)=c+d$ より $u+v=w+t$ が確かめられる。関数方程式に $x=u,y=v,z=e$ を代入すると $f(a)+f(b)=(e+1)f(u+v)$ を得る。同様に $f(c)+f(d)=(e+1)f(w+t)$ となり、主張が従う。