第5問

すべての正実数

x,y,z

に対して

(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)

を満たす関数

f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

をすべて求めよ。

ステップ 4/8:

yf(x)=f(xf(y))

を導く

前のステップ次のステップ

(y+1)f(x)=f\!\left(\tfrac{x}2f(y)+\tfrac x2\right)+f\!\left(\tfrac{x}2f(y)+\tfrac x2\right)=f(xf(y))+f(x) \implies yf(x)=f(xf(y))

詳しい解説

関数方程式に $x=y=\tfrac x2$ 、 $z=y$ を代入すると、 $(y+1)f(x)$ は同一の項 $f(\tfrac x2f(y)+\tfrac x2)$ の二倍に等しくなる。この二つの引数の和は $xf(y)+x$ に等しく、この $xf(y)+x$ は項 $xf(y)$ と項 $x$ に分けた和にも等しい。等しい和に関する加法性（ステップ3）より、その項の二倍は $f(xf(y))+f(x)$ に等しい。したがって $(y+1)f(x)=f(xf(y))+f(x)$ となり、すべての $x,y>0$ に対して $yf(x)=f(xf(y))$ を得る。