第5問

すべての正実数

x,y,z

に対して

(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)

を満たす関数

f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

をすべて求めよ。

ステップ 5/8:

f(1)=1

を示す

前のステップ次のステップ

a:=f(1/f(1)):\quad f(a)=1,\ \ af(a)=f(af(a))=1 \implies a=1 \implies f(1)=1

詳しい解説

$a=f(1/f(1))$ とする。 $yf(x)=f(xf(y))$ に $x=1$ 、 $y=1/f(1)$ を代入すると $f(a)=1$ を得る。 $f(a)=1$ なので自明に $a=af(a)$ かつ $f(af(a))=f(a)=1$ である。一方、関係式 $yf(x)=f(xf(y))$ に $x=y=a$ を代入すると $af(a)=f(af(a))$ となり、よって $a=f(af(a))=1$ である。 $f(a)=1$ と $a=1$ より $f(1)=1$ が結論される。