第5問

すべての正実数

x,y,z

に対して

(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)

を満たす関数

f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

をすべて求めよ。

ステップ 7/8: 加法定数を確定する

前のステップ次のステップ

f(x+y)=f(x)+f(y)+b,\quad b=f(2)-2f(1)=f(2)-2,\quad 4+2b=2f(2)=f(f(2)+f(2))=f(f(2))+f(f(2))+b=4+b \implies b=0

詳しい解説

等しい和に関する加法性を二回適用すると $f(x+y)+f(1)=f(x)+f(y+1)$ と $f(y+1)+f(1)=f(y)+f(2)$ を得る。これらを組み合わせると、すべての $x,y>0$ に対して $f(x+y)=f(x)+f(y)+b$ となり、ここで $b=f(2)-2f(1)=f(2)-2$ である。 $yf(x)=f(xf(y))$ 、対合 $f(f(y))=y$ 、およびこの加法関係を $x=y=2$ で用いると、 $4+2b=2f(2)=f(2f(2))=f(f(2)+f(2))=f(f(2))+f(f(2))+b=4+b$ と計算でき、 $b=0$ が強制される。