第5問

すべての正実数

x,y,z

に対して

(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)

を満たす関数

f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

をすべて求めよ。

ステップ 8/8:

f(x)=x

を結論する

前のステップ次のステップ

f(x+y)=f(x)+f(y) \implies f \text{ strictly increasing},\quad f(x)>x \text{ or } f(x)<x \text{ both impossible} \implies f(x)=x

詳しい解説

$b=0$ より、すべての正の $x,y$ に対して $f(x+y)=f(x)+f(y)$ となるので $f$ は狭義単調増加である。ある $x$ で $f(x)>x$ とすると、狭義単調増加な $f$ と対合を用いて $f(f(x))>f(x)$ 、すなわち $x>f(x)$ となり $f(x)>x$ に矛盾する。対称的に $f(x)<x$ も不可能である。したがってすべての正実数 $x$ に対して $f(x)=x$ である。