アジア太平洋数学オリンピック · 2017年

問題

第1問整数の $5$ 個組が「arrangeable」であるとは、その要素にある順序で $a,b,c,d,e$ とラベル付けして $a-b+c-d+e=29$ とできることをいう。整数の $2017$ 個組 $n_1,n_2,\ldots,n_{2017}$ を時計回りに円周上に並べたとき、円周上の連続する位置にある任意の $5$ 個組が arrangeable であるようなものをすべて求めよ。解答: 1
第2問 $AB<AC$ を満たす三角形 $ABC$ を考える。 $D$ を $\angle BAC$ の内角の二等分線と三角形 $ABC$ の外接円との交点とする。 $Z$ を $AC$ の垂直二等分線と $\angle BAC$ の外角の二等分線との交点とする。線分 $AB$ の中点が三角形 $ADZ$ の外接円上にあることを証明せよ。解答: 1
第3問 $A(n)$ を、 $a_1+\cdots+a_k=n$ かつ各 $a_i+1$ （ $i=1,2,\ldots,k$ ）が二のべきであるような正整数の数列 $a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_k$ の個数とする。 $B(n)$ を、 $b_1+\cdots+b_m=n$ かつ各不等式 $b_j\ge2b_{j+1}$ （ $j=1,2,\ldots,m-1$ ）が成り立つような正整数の数列 $b_1\ge b_2\ge\cdots\ge b_m$ の個数とする。すべての正整数 $n$ に対して $A(n)=B(n)$ であることを証明せよ。解答: 1
第4問有理数 $r$ が「powerful」であるとは、互いに素な正整数 $p,q$ とある整数 $k>1$ に対して $r$ が $\dfrac{p^k}{q}$ の形に表せることをいう。 $a,b,c$ を $abc=1$ を満たす正の有理数とする。ある正整数 $x,y,z$ に対して $a^x+b^y+c^z$ が整数になると仮定する。 $a,b,c$ がすべて powerful であることを証明せよ。解答: 1
第5問 $n$ を正整数とする。整数を成分とする $n$ 個組 $(a_1,\ldots,a_n)$ と $(b_1,\ldots,b_n)$ の組が「exquisite」であるとは、 $|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\le1$ が成り立つことをいう。整数を成分とする相異なる $n$ 個組であって、そのうちどの二つも exquisite な組をなすようなものの最大個数を求めよ。解答: 1