第4問

有理数

r

が「powerful」であるとは、互いに素な正整数

p,q

とある整数

k>1

に対して

r

が

\dfrac{p^k}{q}

の形に表せることをいう。

a,b,c

を

abc=1

を満たす正の有理数とする。ある正整数

x,y,z

に対して

a^x+b^y+c^z

が整数になると仮定する。

a,b,c

がすべて powerful であることを証明せよ。

ステップ 1/5:

a,b,c

を既約分数で表す

前のステップ次のステップ

a=\frac{a_1}{b_1},\ b=\frac{a_2}{b_2},\ \gcd(a_1,b_1)=\gcd(a_2,b_2)=1,\quad c=\frac{b_1b_2}{a_1a_2}

詳しい解説

$a=a_1/b_1$ 、 $b=a_2/b_2$ を既約分数で表す。 $abc=1$ より $c=b_1b_2/(a_1a_2)$ である。分母を払うと、 $a^x+b^y+c^z$ が整数であるという仮定は整除性 $a_1^za_2^zb_1^xb_2^y\mid a_1^{x+z}a_2^zb_2^y+a_1^za_2^{y+z}b_1^x+b_1^{x+z}b_2^{y+z}$ になる。