MathLabs

第1問

整数の 55 個組が「arrangeable」であるとは、その要素にある順序で a,b,c,d,ea,b,c,d,e とラベル付けして a−b+c−d+e=29a-b+c-d+e=29 とできることをいう。整数の 20172017 個組 n1,n2,…,n2017n_1,n_2,\ldots,n_{2017} を時計回りに円周上に並べたとき、円周上の連続する位置にある任意の 55 個組が arrangeable であるようなものをすべて求めよ。
ステップ 2/4: 偶奇性は周期 55、したがって一定
前のステップ次のステップ
mi−mi+1+mi+2+mi+3−mi+4≡mi+mi+1+mi+2+mi+3+mi+4(mod2)  ⟹  mi≡mi+5(mod2)m_i-m_{i+1}+m_{i+2}+m_{i+3}-m_{i+4}\equiv m_i+m_{i+1}+m_{i+2}+m_{i+3}+m_{i+4}\pmod2 \implies m_i\equiv m_{i+5}\pmod2
詳しい解説

arrangeable の条件を 22 を法として簡約する（符号が無関係になる）と、連続する任意の 55 個の mim_i は mi+mi+1+mi+2+mi+3+mi+4≡0(mod2)m_i+m_{i+1}+m_{i+2}+m_{i+3}+m_{i+4}\equiv0\pmod2 を満たす。ii から始まる窓と i+1i+1 から始まる窓を比較すると、すべての ii に対して mi≡mi+5(mod2)m_i\equiv m_{i+5}\pmod2 が分かる。gcd⁡(5,2017)=1\gcd(5,2017)=1 なので、55 ずつ進むことを繰り返すとすべての 20172017 個の添字を巡回するので、すべての mim_i は同じ偶奇性を持つ。