MathLabs

第1問

整数の 55 個組が「arrangeable」であるとは、その要素にある順序で a,b,c,d,ea,b,c,d,e とラベル付けして a−b+c−d+e=29a-b+c-d+e=29 とできることをいう。整数の 20172017 個組 n1,n2,…,n2017n_1,n_2,\ldots,n_{2017} を時計回りに円周上に並べたとき、円周上の連続する位置にある任意の 55 個組が arrangeable であるようなものをすべて求めよ。
ステップ 3/4: 共通の偶奇性は偶数である
前のステップ次のステップ
m1+m2+m3+m4+m5≡0(mod2)  ⟹  common parity is evenm_1+m_2+m_3+m_4+m_5\equiv0\pmod2 \implies \text{common parity is even}
詳しい解説

連続する任意の五個の mim_i の和は 22 を法として偶数であり、特に m1+m2+m3+m4+m5≡0(mod2)m_1+m_2+m_3+m_4+m_5\equiv0\pmod2 である。すべての mim_i は共通の偶奇性を持つので、その偶奇性を持つ五個の項の和が偶数になるのは、共通の偶奇性自体が偶数の場合のみである。したがってすべての mim_i は偶数である。