MathLabs

第1問

整数の 55 個組が「arrangeable」であるとは、その要素にある順序で a,b,c,d,ea,b,c,d,e とラベル付けして a−b+c−d+e=29a-b+c-d+e=29 とできることをいう。整数の 20172017 個組 n1,n2,…,n2017n_1,n_2,\ldots,n_{2017} を時計回りに円周上に並べたとき、円周上の連続する位置にある任意の 55 個組が arrangeable であるようなものをすべて求めよ。
ステップ 4/4: 無限降下によりすべての mi=0m_i=0 が強制される
前のステップ次のステップ
mi all even  ⟹  mi/2 satisfies the same condition  ⟹  mi=0 ∀im_i \text{ all even} \implies m_i/2 \text{ satisfies the same condition} \implies m_i=0\ \forall i
詳しい解説

すべての mim_i が偶数なので、各 mim_i を mi/2m_i/2 に置き換えても、連続する任意の 55 項が再ラベル付けにより a−b+c−d+e=0a-b+c-d+e=0 を満たすという性質は保たれる。これはこの条件が線形かつ斉次だからである。ある mi≠0m_i\ne0 が存在すれば、この折半は無限に繰り返せることになるが、非零整数を繰り返し半分にすると最終的に奇数になり、すべての段階で全項が偶数であり続けることに矛盾する。したがってすべての mi=0m_i=0 であり、n1=⋯=n2017=29n_1=\cdots=n_{2017}=29 である。