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第2問

AB<ACAB<AC を満たす三角形 ABCABC を考える。DD を ∠BAC\angle BAC の内角の二等分線と三角形 ABCABC の外接円との交点とする。ZZ を ACAC の垂直二等分線と ∠BAC\angle BAC の外角の二等分線との交点とする。線分 ABAB の中点が三角形 ADZADZ の外接円上にあることを証明せよ。
ステップ 2/6: ZDZD が直径であり ZD′=ZDZD'=ZD を得る
前のステップ次のステップ
∠ZAD=90∘  ⟹  ZD diameter of ⊙(AZD)  ⟹  ∠ZMD=90∘  ⟹  ZD′=ZD,ZA=ZC\angle ZAD=90^\circ \implies ZD \text{ diameter of } \odot(AZD) \implies \angle ZMD=90^\circ \implies ZD'=ZD,\quad ZA=ZC
詳しい解説

AA における内角と外角の二等分線は垂直であるから ∠ZAD=90∘\angle ZAD=90^\circ であり、ZDZD は △AZD\triangle AZD の外接円の直径となり、∠ZMD=90∘\angle ZMD=90^\circ を得る。MM は構成により DD′DD' の中点なので、ZM⊥DD′ZM\perp DD' より ZMZM は DD′DD' の垂直二等分線であり、したがって ZD′=ZDZD'=ZD となる。また ZZ は ACAC の垂直二等分線上にあるので ZA=ZCZA=ZC である。