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第2問

AB<ACAB<AC を満たす三角形 ABCABC を考える。DD を ∠BAC\angle BAC の内角の二等分線と三角形 ABCABC の外接円との交点とする。ZZ を ACAC の垂直二等分線と ∠BAC\angle BAC の外角の二等分線との交点とする。線分 ABAB の中点が三角形 ADZADZ の外接円上にあることを証明せよ。
ステップ 3/6: 円内接四角形による角度計算
前のステップ次のステップ
α:=∠BAD=∠DAC,∠MZD=∠MAD=α, ∠AZC=2α  ⟹  ∠D′ZA=∠DZC\alpha:=\angle BAD=\angle DAC,\quad \angle MZD=\angle MAD=\alpha,\ \angle AZC=2\alpha \implies \angle D'ZA=\angle DZC
詳しい解説

α=∠BAD=∠DAC\alpha=\angle BAD=\angle DAC とする。AZDMAZDM は円に内接するので ∠MZD=∠MAD=α\angle MZD=\angle MAD=\alpha であり、MM が DD′DD' の中点であることから ∠D′ZM=∠MZD\angle D'ZM=\angle MZD となるので ∠D′ZD=2α\angle D'ZD=2\alpha となる。また ZZ が ACAC の垂直二等分線上にあることと ∠DAC=α\angle DAC=\alpha を用いると ∠AZC=2α\angle AZC=2\alpha が分かる。∠D′ZD\angle D'ZD と ∠AZC\angle AZC の両方から ∠AZD\angle AZD を引くと ∠D′ZA=∠D′ZD−∠AZD=∠AZC−∠AZD=∠DZC\angle D'ZA=\angle D'ZD-\angle AZD=\angle AZC-\angle AZD=\angle DZC を得る。