β=∠ABC=∠ADC\beta=\angle ABC=\angle ADCβ=∠ABC=∠ADC とおく。AAA の周りの角の和 (∠D′AZ+∠ZAD+∠DAB+∠BAD′=360∘\angle D'AZ+\angle ZAD+\angle DAB+\angle BAD'=360^\circ∠D′AZ+∠ZAD+∠DAB+∠BAD′=360∘) と四角形 AZCDAZCDAZCD の内角の和 (∠DCZ+∠ZAD+∠CZA+∠ADC=360∘\angle DCZ+\angle ZAD+\angle CZA+\angle ADC=360^\circ∠DCZ+∠ZAD+∠CZA+∠ADC=360∘) を取り、合同から得られる等しい項 ∠D′AZ=∠DCZ\angle D'AZ=\angle DCZ∠D′AZ=∠DCZ および ∠ZAD=90∘\angle ZAD=90^\circ∠ZAD=90∘、∠CZA=2α\angle CZA=2\alpha∠CZA=2α を消去すると、∠BAD′=α+β\angle BAD'=\alpha+\beta∠BAD′=α+β が得られ、これは ∠ABD\angle ABD∠ABD に等しい。等しい錯角より AD′∥BDAD'\parallel BDAD′∥BD を得る。