第4問

有理数

r

が「powerful」であるとは、互いに素な正整数

p,q

とある整数

k>1

に対して

r

が

\dfrac{p^k}{q}

の形に表せることをいう。

a,b,c

を

abc=1

を満たす正の有理数とする。ある正整数

x,y,z

に対して

a^x+b^y+c^z

が整数になると仮定する。

a,b,c

がすべて powerful であることを証明せよ。

ステップ 2/5:

a_1^z\mid b_2^{y+z}

を導く

前のステップ次のステップ

a_1^z\mid b_1^{x+z}b_2^{y+z},\quad \gcd(a_1,b_1)=1 \implies a_1^z\mid b_2^{y+z}

詳しい解説

上の整除性の左辺は $a_1^z$ で割り切れ、 $a_1^z$ は右辺の最初の二項を明らかに割り切る（それぞれすでに因子 $a_1^z$ を含む）。したがって $a_1^z$ は第三項 $b_1^{x+z}b_2^{y+z}$ を割り切る。 $\gcd(a_1,b_1)=1$ なので、これは $a_1^z\mid b_2^{y+z}$ を強制する。