第4問

有理数

r

が「powerful」であるとは、互いに素な正整数

p,q

とある整数

k>1

に対して

r

が

\dfrac{p^k}{q}

の形に表せることをいう。

a,b,c

を

abc=1

を満たす正の有理数とする。ある正整数

x,y,z

に対して

a^x+b^y+c^z

が整数になると仮定する。

a,b,c

がすべて powerful であることを証明せよ。

ステップ 3/5: 素数

p\mid a_1

における付値の比較

前のステップ次のステップ

p^n\Vert a_1,\ p^m\Vert b_2,\quad nz\le m(y+z),\quad p^{nz}\Vert a_1^za_2^{y+z}b_1^x,\ p^{m(y+z)}\Vert b_1^{x+z}b_2^{y+z}

詳しい解説

素数 $p\mid a_1$ を固定し、 $p^n\Vert a_1$ 、 $p^m\Vert b_2$ とする（したがって $n,m\ge1$ ）。 $a_1^z\mid b_2^{y+z}$ より $nz\le m(y+z)$ を得る。 $\gcd(a_1,b_1)=\gcd(a_2,b_2)=1$ なので $p$ は $b_1$ も $a_2$ も割らず、したがって正確に $p^{nz}\Vert a_1^za_2^{y+z}b_1^x$ かつ $p^{m(y+z)}\Vert b_1^{x+z}b_2^{y+z}$ である。