第4問

有理数

r

が「powerful」であるとは、互いに素な正整数

p,q

とある整数

k>1

に対して

r

が

\dfrac{p^k}{q}

の形に表せることをいう。

a,b,c

を

abc=1

を満たす正の有理数とする。ある正整数

x,y,z

に対して

a^x+b^y+c^z

が整数になると仮定する。

a,b,c

がすべて powerful であることを証明せよ。

ステップ 5/5:

a_1

、したがって

a

が powerful であると結論する

前のステップ次のステップ

k:=\frac{y+z}{\gcd(z,y+z)}>1,\quad k\mid n\ \forall p\mid a_1\implies a_1=t^k,\ \gcd(t,b_1)=1\implies a=\frac{t^k}{b_1}\text{ is powerful}

詳しい解説

$nz=m(y+z)$ （ $n,m$ は正整数）を $\gcd(z,y+z)$ で割ると、 $n$ は $k:=(y+z)/\gcd(z,y+z)$ で割り切れる。 $z<y+z$ なので $k>1$ である。これは $a_1$ を割るすべての素数 $p$ について成り立つため、 $a_1$ の素因数分解に現れる各指数は $k$ で割り切れ、 $a_1=t^k$ （ $t$ は正整数）となる。 $\gcd(a_1,b_1)=1$ なので $\gcd(t,b_1)=1$ でもあり、したがって $a=t^k/b_1$ は求める形をもつ。対応する変数を交換する対称な議論により、 $b$ と $c$ も powerful である。