第5問

n

を正整数とする。整数を成分とする

n

個組

(a_1,\ldots,a_n)

と

(b_1,\ldots,b_n)

の組が「exquisite」であるとは、

|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\le1

が成り立つことをいう。整数を成分とする相異なる

n

個組であって、そのうちどの二つも exquisite な組をなすようなものの最大個数を求めよ。

ステップ 1/5: 互いに exquisite な

n^2+n+1

個の組を構成する

前のステップ次のステップ

\{0\}\cup\{\pm e_i\}_{i=1}^n\cup\{e_i+e_j,\ e_i-e_j\}_{i<j} \implies 1+2n+n(n-1)=n^2+n+1

詳しい解説

零ベクトルを取る；一箇所に $1$ または $-1$ を持つ $2n$ 個の組を取る；そして $\binom n2$ 個の位置の対 $i<j$ それぞれについて、位置 $i,j$ に $(1,1)$ と $(1,-1)$ を持ち他は零である二つの組を取る。総数は $1+2n+2\binom n2=1+2n+n(n-1)=n^2+n+1$ である。